統計 ― 平均値・中央値・分散

1.真ん中を表す3つの値

平均値は、すべての値を足して個数で割った値です。すべての値を均等に分け合ったら、1人あたりいくらになるかを表します。中央値は、値を大きさの順に並べたときにちょうど真ん中にある値です。個数が偶数なら、真ん中の2つの値の平均を使います。最頻値は、いちばん多く出てきた値です。

3つは同じデータでも違うことがあり、何を知りたいかによって使い分けなければなりません。靴屋がいちばん多くそろえるべきサイズは最頻値が教えてくれ、「ふつうの人の所得」は中央値のほうがよく表し、全体の総量を分ける計算（1人あたりの使用量など）には平均値が合っています。

2.平均の平均は平均ではない ― 加重平均

2つのグループの平均がわかっていて全体の平均を求めるとき、2つの平均を足して2で割ると、たいてい間違いです。そのやり方が正しいのは、2つのグループの人数が同じときだけです。人数が違えば、人の多いグループの平均が全体の平均により大きく影響するはずだからです。

正しいやり方は、平均の定義に立ち返ることです。各グループの「平均 × 人数」で合計をよみがえらせ、すべて足してから全体の人数で割ります。このように、各値にその重み（人数、重さ、時間など）をかけて求めた平均を加重平均といいます。科目ごとに単位数が違う成績の平均や、購入時期ごとに数量が違う平均購入単価も、すべて加重平均です。

3.散らばり ― 平均が同じでもデータは違う

2クラスの試験の点数があります。A組の5人は70、70、70、70、70点で、B組の5人は50、60、70、80、90点です。どちらのクラスも平均は70点ですが、まったく違うクラスです。A組は全員が似ていて、B組は実力の差が大きいのです。この違いを数で表すのが分散と標準偏差です。

やり方はこうです。各値が平均からどれだけ離れているか（偏差）を求めます。偏差をそのまま足すといつも0になるので、2乗してすべて正の数にします。2乗した偏差の平均が分散です。分散は単位が2乗（点²）で解釈しにくいので、平方根をとってもとの単位に戻したものが標準偏差です。

この講義では、手元のデータ全体を1つの母集団と見なして n で割る母分散を使います。B組の偏差は −20、−10、0、10、20 で、2乗すると 400、100、0、100、400、合計 1,000 です。1,000 ÷ 5 = 200 が分散、√200 ≈ 14.1点 が標準偏差です。A組は偏差がすべて0なので、分散も標準偏差も0です。

4.分散と標準偏差を手で計算する

前のデータ 2、4、4、4、5、5、7、9 で、最初から最後まで計算してみましょう。表を作ってマスを1つずつ埋めていくと、間違いが大きく減ります。

• 母分散（n で割る）：手元のデータが関心の対象全体のとき。この例では4。
• 標本分散（n − 1 で割る）：一部を抜き出した標本から全体の分散を推定するとき。この例では 32 ÷ 7 ≈ 4.57、標準偏差 ≈ 2.14。
• 標本で計算すると平均も標本から求めるので、散らばりが実際より少し小さく出る傾向があり、n − 1 で割って補正します。
• 表計算ソフト・電卓・AIがどちらを使っているかを先に確かめましょう。同じデータでも値が違って出ます。

5.外れ値 ― 平均値を揺さぶる1人

ほかの値からかけ離れた値を外れ値といいます。平均値はすべての値を足すので外れ値1つに大きく引っぱられ、中央値は順序しか見ないのでほとんど揺らぎません。そのため、所得や住宅価格のように、ごく大きな値が一部まじったデータでは、平均値より中央値のほうが「ふつう」をよく表します。

外れ値をむやみに消すのも正解ではありません。入力ミスなら直すべきですが、実際に起きた値なら、それ自体が大切な情報かもしれません。平均値と中央値をあわせて見て、2つの差が大きければ、外れ値や片寄った分布があるサインとして受け止めましょう。