指数と対数 ― かけ算で大きくなる世界

1.累乗と指数法則

同じ数を何回もかけたものを累乗といい、かけた回数を指数といいます。2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 で、このとき2を底、5を指数といいます。2を10回かけると1,024で、最初の500倍を超えます。2を10回足すと20であることと比べれば、かけ算の繰り返しがどれほど速く大きくなるかがわかります。

指数法則は「かけた回数を数える」という考えからすぐに出てきます。2³ × 2⁴ は、2を3回かけたものと4回かけたものをさらにかけたのですから、2を7回かけたもの、つまり 2⁷ です。割り算では回数を引き、累乗の累乗では回数をかけます。

2.複利 ― 利息に利息がつく

単利は最初の元金にだけ利息がつき、複利は利息が元金に加えられてから、その合計にまた利息がつきます。年 r の複利で n 年たつと、元金に (1 + r) を n 回かけることになるので、複利は指数の問題です。

最初の数年は単利と複利の差が小さく見えますが、期間が長くなるほど差は急激に開きます。借金では、同じ原理が逆向きに働きます。返していない利息に利息がつけば、借金も指数的に膨らみます。

3.2倍になる時間と72の法則

複利で増える量が2倍になるまでにかかる期間は、「72 ÷ 利率（%）」で見積もれます。これを72の法則といいます。年6%なら 72 ÷ 6 = 12 で約12年、年8%なら約9年です。

あくまで見積もりです。年6%で12年の複利を計算すると 1.06¹² ≈ 2.012 でほぼ正確ですが、利率がとても高かったり低かったりすると誤差が大きくなります。正確な期間は次の節の対数で求めます。年6%の正確な値は約11.9年です。

この法則はお金以外にも使えます。毎年一定の割合で増える利用者数、物価、データ量などすべてに当てはまります。物価が毎年3%ずつ上がれば、約 72 ÷ 3 = 24 年後に物価は2倍になり、同じお金で買える量は半分に減ります。

4.対数 ― 何回かけたか

2を何回かけると8になるでしょうか。3回です。この「何回」を表すことばが対数です。log₂ 8 = 3 と書き、「2を底とする8の対数は3」と読みます。指数 2³ = 8 を逆に問うたものです。log₁₀ 1000 = 3、log₂ 1024 = 10 も同じ意味です。

対数のいちばん大切な性質は、かけ算を足し算に変えることです。かけた回数同士は足し合わされるからです。log(a × b) = log a + log b。ですから10をかけるたびに、10を底とする対数は1ずつ増えます。

対数は「半分にすることを何回繰り返せばよいか」にも答えます。並べ替えられた1,000,000個のデータから目当ての値を探すとき、真ん中を見て半分ずつ捨てる方法を使えば、log₂ 1,000,000 ≈ 19.9 なので、多くても約20回で見つかります。2²⁰ = 1,048,576 が1,000,000より大きいからです。コンピューターが大きなデータを素早く探す原理の一つです。

5.対数目盛のグラフを読む

ふつうの目盛は1目盛ごとに同じ量を足します（0、10、20、30 …）。対数目盛は1目盛ごとに同じ倍数をかけます（1、10、100、1000 …）。そのため、指数的に増える量を対数目盛に描くとまっすぐな直線になります。毎年2倍になる量は、ふつうの目盛では急に跳ね上がる曲線ですが、対数目盛では一定の傾きの直線です。

対数目盛のグラフを見るときは、同じ高さの差は同じ「倍数」だということを覚えておく必要があります。10から100へ行く距離と、100から1000へ行く距離は同じです。ふつうの目盛のように読むと、後半のとてつもない増加を小さく感じてしまいます。音の大きさ（デシベル）や地震の規模も対数を使う尺度なので、数字が1や10違うだけでも、実際の強さは何倍も違います。

逆に、増え方が鈍ってきているかを見たいときには、対数目盛が役に立ちます。対数グラフの傾きが小さくなっていれば、増加率が下がっているということです。

• 軸に 1、10、100、1000 のように倍数で目盛がついていれば対数目盛である
• 対数目盛での直線 = 一定の割合での増加（指数的な増加）
• 同じ高さの差 = 同じ倍数であって、同じ量ではない