確率 ― 不確かさを数で表す

1.確率の意味

どの場合も同じように起こりそうなとき、ある事象の確率は「その事象が起こる場合の数 ÷ 起こりうるすべての場合の数」です。さいころを1つ投げて偶数が出る確率は、偶数（2、4、6）の3通りを全体の6通りで割った 3/6 = 1/2 です。

確率はいつも0と1の間にあります。0は決して起こらないこと、1は必ず起こることです。確率 1/2 は「2回やれば1回出る」という約束ではなく、何度も何度も繰り返せば出る割合が 1/2 に近づくという意味です。コインを10回投げて表が7回出ることは珍しくありませんが、10,000回投げれば、表の割合はたいてい 0.5 の近くに集まります。

2.場合の数 ― 積の法則と和の法則

シャツ3枚とズボン4本で服を組み合わせる方法は何通りでしょうか。シャツごとにズボンを4通りずつ選べるので、3 × 4 = 12通りです。このように「そして」でつながる選択では、場合の数をかけます（積の法則）。数字4けたの暗証番号は、各けたが10通りなので 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000通りです。

逆に「または」でつながり、2つの事象が同時に起こりえないときは、場合の数を足します（和の法則）。さいころで「2以下または5以上」は 2通り + 2通り = 4通りです。ただし、2つの事象が重なりうるときは、重なった部分を1回引かなければなりません。「偶数または3の倍数」は、偶数3通り + 3の倍数2通りから、両方にあたる6を1回引いて4通り（2、3、4、6）です。

順序が大事かどうかも考える必要があります。5人の中から会長と副会長を選ぶ方法は 5 × 4 = 20通りですが、順序なしで代表を2人選ぶ方法は、(A, B) と (B, A) を同じものと見なすので 20 ÷ 2 = 10通りです。

3.余事象 ―「少なくとも1回」は逆から数える

「少なくとも1回起こる確率」を直接数えようとすると、1回、2回、3回 … 起こる場合をすべて調べなければならず面倒です。こんなときは反対の状況、つまり「1回も起こらない確率」を求めて1から引けば簡単です。ある事象が起こらないという事象を余事象といいます。

4.独立な事象 ― 確率をかける

一方の事象の結果がもう一方の事象の確率に影響しないとき、2つの事象は独立であるといいます。コイン投げとさいころ投げは互いに影響しないので、コインが表で、かつさいころが6になる確率は 1/2 × 1/6 = 1/12 です。

独立でない場合は、かける前に条件が変わります。赤い玉3個と青い玉2個が入った袋から玉を取り出して戻さないなら、1個目が赤のとき2個目が赤である確率は 3/5 ではなく 2/4 です。ですから2個とも赤である確率は 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10 です。現実のできごとは、独立に見えても実際には互いに絡み合っていることがよくあります。同じ日の同じ地域の天気のようにです。

5.ギャンブラーの誤謬

コインを投げたら表が5回続けて出ました。次は裏が出る番でしょうか。いいえ。コインに記憶はありません。公正なコインなら、6回目に表が出る確率はやはり 1/2 です。「そろそろ反対側が出るころだ」と信じることを、ギャンブラーの誤謬といいます。

混乱するのは、2つの問いをまぜてしまうからです。「投げる前に、6回続けて表が出る確率」は (1/2)⁶ = 1/64 で小さい値です。しかし「すでに5回表が出た状態で、次の1回が表である確率」は 1/2 です。すでに起きたことは、もう確率の対象ではありません。

宝くじの番号、ロトの「そろそろ出るはずの番号」、続けて負けた後の「今度は勝つ番だ」という考えは、どれも同じ誤りです。逆に、結果が互いに影響する場合（上の袋のように取り出した玉を戻さない場合）なら、前の結果が次の確率を変えます。まず独立かどうかを見極めることが要です。