図形の基礎 ― 面積と三平方の定理

1.面積の公式はすべて長方形から生まれる

面積とは、1辺が1の正方形がいくつ入るかを数えたものです。横 6 m、縦 5 m の部屋には 1 m × 1 m のタイルが30枚入るので、面積は 30 m² です。長方形の面積 = 横 × 縦 が、すべての面積の公式の出発点です。

平行四辺形は、片端の三角形を切り取って反対側にくっつけると長方形になるので、底辺 × 高さ です。三角形は、まったく同じ三角形を2つくっつけると平行四辺形になるので、その半分の 底辺 × 高さ ÷ 2 です。台形も、同じものを逆さにくっつけると底辺が (上底 + 下底) の平行四辺形になるので、その半分です。ここでの高さは斜めの辺の長さではなく、底辺に垂直な距離だということを必ず覚えておきましょう。

2.円 ― 円周と面積

円周を直径で割ると、円の大きさに関係なくいつも同じ値になります。この値が円周率 π で、約 3.14 です。π は同じ数字の並びが繰り返さずに限りなく続く小数なので、計算では 3.14 で見積もるか、答えを π が入ったままにしておきます。

円の面積が π × r² になる理由は、円をピザのように細かく切って互い違いに並べてみるとわかります。切れ端が多くなるほど、縦が半径 r、横が円周の半分 πr の長方形に近づくので、面積は πr × r = πr² です。

面積は長さの2乗に比例します。半径が2倍になれば面積は4倍、3倍になれば9倍になります。この感覚は、ピザや植木鉢、画面の大きさを比べるときにとても役立ちます。

3.相似と縮尺 ― 長さ・面積・体積が増える割合

形が同じで大きさだけが違う2つの図形を、相似な図形といいます。相似な図形で長さが k 倍になると、面積は k² 倍、体積は k³ 倍になります。面積は長さを2つかけた量で、体積は長さを3つかけた量だからです。1辺が 1 cm の立方体の辺を 2 cm に伸ばすと、表面積は4倍、体積は 1 cm³ から 8 cm³ へと8倍になります。

地図の縮尺も同じ原理です。縮尺 1 : 50,000 は、地図上の 1 cm が実際には 50,000 cm、つまり 500 m だという意味です。長さは50,000をかければよいのですが、面積を求めるときは50,000ではなく 50,000² をかけなければなりません。これを忘れて長さの比だけをかけてしまうのが、いちばん多い間違いです。迷ったら面積をいきなり換算せず、各辺の長さを先に実際の長さに直してから面積を計算すると安全です。

4.三平方の定理

直角三角形で、直角をはさむ2辺を a、b、直角と向かい合ういちばん長い辺（斜辺）を c とすると、a² + b² = c² が成り立ちます。2辺の長ささえわかれば、残りの1辺を求められるということです。

3、4、5 は、この関係を満たすいちばん有名な整数の組です。9 + 16 = 25 です。この比をそのまま大きくした 6、8、10 や、5、12、13（25 + 144 = 169）もよく出てきます。逆に、3辺がこの関係を満たせば、その三角形は直角三角形です。そのため大工さんは 3 m と 4 m を測り、対角線が 5 m になっているかを確かめて、角が直角かどうかを点検します。

5.座標上の2点間の距離

座標平面上の2点間の距離も、三平方の定理で求めます。2点を結ぶ線分を斜辺とし、横の差と縦の差を2辺とする直角三角形を描けばよいのです。

この距離は、データを扱うときにもそのまま使われます。2人の好みを2つの数で表せば、2点間の距離が近いほど好みが似ていると見なせます。数が3つ、100個と増えても、「差を2乗してすべて足し、平方根をとる」というやり方は同じです。第10講のベクトルと類似度が、この考えを引き継ぎます。