関数とグラフ ― 変化を読む目

1.関数 ― 1つの入力に1つの出力

自動販売機の1番のボタンを押すと、いつも同じ飲み物が出てきます。このように、入力 x を1つ決めると出力 y が1つに決まる関係を関数といいます。「タクシーに乗った距離 → 料金」「勉強した時間 → 試験の点数の予測値」「気温 → アイスクリームの売上の予測値」は、どれも関数で表せる関係です。

逆に、1つの入力に出力がいくつもあるなら関数ではありません。「年齢が30の人 → その人の身長」は、30歳の人は何人もいて身長もまちまちなので、関数になりません。関数かどうかは「同じ入力にいつも同じ出力が出るか」で判断します。

AIのモデルも、広く見れば巨大な関数です。文章や写真を入力すると、答えや分類の結果を出力します。第10講でこの見方をもう一度取り上げます。

2.一次関数 y = ax + b

いちばん単純で、いちばんよく使われる関数が一次関数です。y = ax + b の形で、グラフは直線になります。a を傾き、b を切片（y切片）と呼びます。

切片 b は x = 0 のときの y の値、つまりグラフが y軸と交わる高さです。料金プランなら、何も使わなくても払う基本料金です。傾き a は、x が1増えたときに y がどれだけ変わるかを表します。料金プランなら1GBあたりの追加料金です。a が正なら右上がりの直線、負なら右下がりの直線で、絶対値が大きいほど急になります。

y = 2x + 1 の表を作ってみると、傾きの意味がすぐにわかります。x が1ずつ増えるたびに、y はいつも2ずつ増えます。

3.2点から式を求める

直線は2点がわかれば1つに決まります。まず2点の間の傾きを求め、次に1点を式に代入して b を求めます。実際のデータで「2つの時点の値から変化の速さを求める」というのは、まさにこの計算です。

4.傾きが負の数や分数のとき

傾きが整数でなくても、やり方は同じです。ただし符号と分数の計算で間違いやすいので、2点で引く順序をそろえ、最後に必ずもう1つの点で検算します。

傾き −2/3 は「x が3増えると y が2減る」という意味です。分数の傾きは、このように「横に何マス進むと縦に何マス動くか」と読むと、グラフが描きやすくなります。傾き 1/2 なら右に2マス進むと上に1マス、傾き −3 なら右に1マス進むと下に3マスです。

5.交点 ― 2つの選択肢が等しくなる点

2直線が交わる点は、2つの式の値が等しくなる点です。第3講の連立方程式をグラフで見ると、まさにこの交点を求めることになります。生活の場面では「どこから別の選択が有利になるか」を教えてくれます。

6.グラフを読む ― 傾きは速さである

グラフを見るときは、まず2つの軸が何で、単位が何かを確かめます。次に傾きを読みます。横軸が時間で縦軸が距離なら、傾きは速さです。横軸が使用量で縦軸が料金なら、傾きは単価です。傾きの単位は「縦軸の単位 ÷ 横軸の単位」になります。km/時、円/GB のようにです。

現実のグラフは、たいていまっすぐな直線ではありません。それでも短い区間を切り取れば直線のように見なせて、その区間の傾きがそのときの変化の速さです。傾きがだんだん大きくなれば変化が速まっているところで、傾きが0に近づけば変化が止まりつつあるということです。この「1点での傾き」という考え方は、第10講の勾配降下法につながります。

• 軸の名前と単位を最初に読む
• 切片（出発点の値）と傾き（変化の速さ）を、それぞれことばで言い直してみる
• 傾きが変わる点があれば、何が変わったのかを探す
• グラフの外の範囲まで、直線をむやみに延ばさない ― 関係がずっと直線だという保証はない