数と計算 ― 分数と小数をもう一度

1.計算の順序 ― 電卓も守る約束

8 − 2 × 3 はいくつでしょうか。前から順に計算すると 6 × 3 = 18 になりますが、約束どおりの答えは 2 です。かけ算と割り算を足し算と引き算より先にすると決めてあるからです。この約束がなければ、同じ式を人によって違うように読んでしまいます。

順序は3段階で覚えましょう。第一に、かっこの中を先に計算します。第二に、かけ算と割り算を左から順に行います。第三に、足し算と引き算を左から順に行います。かけ算と割り算の間には優先順位がない、という点はよく見落とされます。12 ÷ 3 × 2 は左から計算して 4 × 2 = 8 であり、12 ÷ 6 = 2 ではありません。

2.分数の足し算と引き算 ― 通分

分数とは「全体を同じ大きさに分けたかけらのうちの何個か」です。3/4 は全体を4つに分けたうちの3つです。だから大きさの違うかけら同士は、そのままでは足せません。4等分したかけらと3等分したかけらを足すには、まず同じ大きさのかけらに切り直す必要があります。これが通分です。

通分するときは、2つの分母の最小公倍数を共通の分母にすると楽です。4と3の最小公倍数は12なので、1/4 は 3/12、2/3 は 8/12 になります。分母と分子に同じ数をかけても、分数の大きさは変わりません。いちばん多い間違いは、1/4 + 2/3 = 3/7 のように分子同士、分母同士を足してしまうことです。3/7 は約 0.43 で、2/3（約 0.67）よりも小さいのですから、筋が通りません。

3.分数のかけ算と割り算 ― なぜひっくり返してかけるのか

分数のかけ算は、分子同士、分母同士をかけます。2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2 です。「3/4 の 2/3 だけ」と読めば、結果がもとより小さくなるのも自然です。

割り算は「割る数が何回入るか」を問う計算です。2 ÷ 1/4 は、2の中に 1/4 が何回入るかを問うもので、1の中に 1/4 は4回入るので答えは 8 です。1/4 で割ることと 4 をかけることは同じだ、ということです。これを一般化したのが「割る分数の分子と分母を入れ替えて（逆数にして）かける」という規則です。

1より小さい数で割ると、結果は大きくなることも覚えておきましょう。「割ると小さくなる」という直感が正しいのは、1より大きい数で割るときだけです。

4.小数と分数の変換

小数は、分母が 10、100、1000… の分数を短く書いたものです。0.375 は 375/1000 で、分子と分母を公約数 125 で割ると 3/8 になります。逆に分数を小数に直すときは、分子を分母で割ります。3/8 = 3 ÷ 8 = 0.375 です。

すべての分数がきれいな小数になるわけではありません。1/3 = 0.333… のように、同じ数字が限りなく繰り返す循環小数になるものもあります。既約分数にしてから分母を素因数分解したとき、2と5しかなければ有限小数、ほかの素因数があれば循環小数です。8 = 2×2×2 なので 3/8 は有限小数、3が入っている 1/3 は循環小数です。

ですから 0.33 を 1/3 と書くと誤差が生じます。こうした近似値は ≈ の記号で表す習慣をつけましょう。1/3 ≈ 0.33 です。コンピューターも内部では2進法を使うため 0.1 のような数を正確には持てず、0.1 + 0.2 が 0.30000000000000004 のように表示されることがあります。

5.よくある間違いと点検のしかた

いちばんよい点検法は見積もりです。計算する前に、答えがだいたいどれくらいになりそうかを先に言ってみましょう。1/4 + 2/3 は 0.25 と 0.67 くらいを足すのだから、1より少し小さいはずです。11/12 ≈ 0.92 が出たなら安心してかまいません。AIが示した計算も同じ方法でまず見積もってみると、大きく外れた答えはすぐにふるい落とせます。

• 分子同士、分母同士を足す：1/2 + 1/3 ≠ 2/5。通分すると 3/6 + 2/6 = 5/6 です。
• かけ算と割り算の間に順序をつけてしまう：かけ算と割り算は同じ順位なので、左から計算します。
• 割り算で前の数をひっくり返す：逆数にするのは割る数（後ろの数）です。
• 近似値を正確な値のように使う：0.33 は 1/3 ではなく、1/3 の近似値です。