统计——平均数、中位数、方差

1.表示“中间”的三个值

平均数是把所有值相加再除以个数得到的值，意思是如果把总量平均分给每个人，每人能分到多少。中位数是把数值按大小排好后，位于正中间的那个值；个数为偶数时，取中间两个值的平均数。众数是出现次数最多的值。

对同一组数据，这三个值也可能不同，要根据想了解什么来选用。鞋店最该多备哪个尺码，看众数；“普通人的收入”用中位数表示更好；而把总量平均分摊的计算（如人均用量），用平均数才合适。

2.平均数的平均数不是平均数——加权平均数

已知两个小组的平均数、要求整体平均数时，把两个平均数相加再除以 2，通常是错的。这种方法只有在两个小组人数相同时才成立。人数不同时，人多的那组的平均数应该对整体平均数产生更大的影响。

正确的方法是回到平均数的定义：用各组的“平均数 × 人数”还原出总和，全部加起来，再除以总人数。像这样给每个值乘上它的权重（人数、重量、时间等）后求出的平均数，叫作加权平均数。各科学分不同的成绩平均、每次购买数量不同的平均购入单价，都是加权平均数。

3.分散程度——平均数相同，数据也可能不同

有两个班的考试成绩。A班五个人是 70, 70, 70, 70, 70 分，B班五个人是 50, 60, 70, 80, 90 分。两个班的平均分都是 70 分，却是完全不同的两个班：A班人人水平相近，B班差距很大。用数字表示这种差别的，就是方差和标准差。

方法如下。先求出每个值离平均数有多远（离差）。离差直接相加总是等于 0，所以先平方，让它们都变成正数。离差平方的平均数就是方差。方差的单位是平方（分²），不好解释，所以再开平方根，回到原来的单位，这就是标准差。

本讲把手头的全部数据看作一个总体，使用除以 n 的总体方差。B班的离差是 −20, −10, 0, 10, 20，平方后是 400, 100, 0, 100, 400，和为 1,000。1,000 ÷ 5 = 200 是方差，√200 ≈ 14.1 分是标准差。A班的离差全是 0，所以方差和标准差也都是 0。

4.手算方差和标准差

用前面的数据 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 从头到尾算一遍。列一张表，一格一格地填，能大大减少出错。

• 总体方差（除以 n）：手头的数据就是所关心对象的全部时使用。本例中是 4。
• 样本方差（除以 n − 1）：用抽取的部分样本来估计整体的方差时使用。本例中是 32 ÷ 7 ≈ 4.57，标准差 ≈ 2.14。
• 用样本计算时，平均数也是从样本求出的，分散程度往往会被估得比实际略小，所以除以 n − 1 来修正。
• 先确认电子表格、计算器或AI用的是哪一种。同一组数据，结果会不一样。

5.异常值——一个人就能撼动平均数

和其他值相差很远的值叫作异常值。平均数要把所有值加起来，所以很容易被一个异常值拉偏；中位数只看顺序，几乎不受影响。因此，像收入、房价这样混有少数极大值的数据，中位数比平均数更能代表“一般水平”。

一律删掉异常值也不是办法。如果是录入错误，就应该改正；但如果是真实发生的值，它本身可能就是重要的信息。把平均数和中位数放在一起看，两者相差很大时，就把它当作存在异常值或分布偏向一侧的信号。