1.函数——一个输入对应一个输出
按下自动售货机的 1 号按钮，出来的总是同一种饮料。像这样，确定一个输入 x，就唯一确定一个输出 y，这种关系叫作函数。“乘坐出租车的距离 → 车费”、“学习时间 → 考试分数的预测值”、“气温 → 冰淇淋销量的预测值”，都是可以用函数表示的关系。
反过来，如果一个输入对应多个输出，就不是函数。“年龄为 30 岁的人 → 这个人的身高”，因为 30 岁的人有很多，身高各不相同，所以不是函数。判断是不是函数，就看“同一个输入是否总是得到同一个输出”。
从广义上说，AI模型也是一个巨大的函数：输入一句话或一张照片，输出答案或分类结果。第10讲会再次从这个角度来看。
2.一次函数 y = ax + b
最简单、也最常用的函数是一次函数。它的形式是 y = ax + b，图像是一条直线。a 叫作斜率，b 叫作y轴截距。
y轴截距 b 是 x = 0 时 y 的值，也就是图像与 y 轴相交的高度。在话费套餐里，它就是什么都不用也要交的基本费。斜率 a 表示 x 每增加 1 时 y 变化多少，在套餐里就是每 1GB 的额外费用。a 为正数时直线向右上方上升，为负数时向右下方下降；绝对值越大，直线越陡。
给 y = 2x + 1 列个表，斜率的意义就一目了然：x 每增加 1，y 总是增加 2。
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| y | 1 | 3 | 5 | 7 |
3.由两点求解析式
只要知道两个点，就能唯一确定一条直线。先求出两点之间的斜率，再把其中一个点代入解析式求出 b。在实际数据中，“用两个时间点的值求变化速度”，就是这种计算。
- 第1步：斜率：(11 − 5) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2。
- 第2步：把点 (1, 5) 代入 y = 2x + b：5 = 2 × 1 + b，b = 3。
- 第3步：解析式是 y = 2x + 3。
- 验算：代入另一个点 (4, 11)：2 × 4 + 3 = 11，正确。
- 第1步：最初的水量（x = 0 时）是 200，所以y轴截距是 200。
- 第2步：每分钟减少 8 L，所以斜率是 −8。解析式为 y = −8x + 200。
- 第3步：流空的时刻就是 y = 0 时：0 = −8x + 200，8x = 200，x = 25。
- 验算：25 分钟流出的水是 8 × 25 = 200 L，与最初的水量相同。
4.斜率是负数或分数时
斜率不是整数时，方法也一样。只是符号和分数计算容易出错，所以两个点相减的顺序要保持一致，最后一定要用另一个点验算。
斜率 −2/3 的意思是“x 增加 3 时 y 减少 2”。分数斜率这样读成“横着走几格时竖着动几格”，画图就容易了。斜率 1/2 是向右走 2 格、向上 1 格；斜率 −3 是向右走 1 格、向下 3 格。
- 第1步：斜率：(3 − 7) ÷ (4 − (−2)) = −4 ÷ 6 = −2/3。
- 第2步：把点 (−2, 7) 代入 y = −2/3 x + b：7 = (−2/3) × (−2) + b = 4/3 + b。
- 第3步：b = 7 − 4/3 = 21/3 − 4/3 = 17/3。
- 验算：代入另一个点 (4, 3)：(−2/3) × 4 + 17/3 = −8/3 + 17/3 = 9/3 = 3，正确。
5.交点——两种选择相等的地方
两条直线的交点，就是两个解析式的值相等的地方。用图像来看第3讲的方程组，就是在找这个交点。在生活中，它告诉我们“从哪一点开始，另一种选择更划算”。
- 第1步：写成解析式：A 是 y = 30,000，B 是 y = 2,500x + 10,000（x 是 GB 数）。
- 第2步：求相等的点：2,500x + 10,000 = 30,000 → 2,500x = 20,000 → x = 8。
- 第3步：用量少于 8GB 时 B 便宜，多于 8GB 时 A 便宜，正好 8GB 时两者相同。
- 验算：8GB 时 B = 2,500 × 8 + 10,000 = 30,000元，与 A 相同。6GB 时 B 是 25,000元，10GB 时 B 是 35,000元，与判断一致。
6.读图——斜率就是速度
看图像时，先确认两条坐标轴分别表示什么、单位是什么。然后读斜率。如果横轴是时间、纵轴是距离，斜率就是速度；如果横轴是用量、纵轴是费用，斜率就是单价。斜率的单位是“纵轴单位 ÷ 横轴单位”，比如 km/时、元/GB。
现实中的图像大多不是笔直的直线。不过截取很短的一段来看，可以把它近似看作直线，这一段的斜率就是当时的变化速度。斜率越来越大，说明变化在加快；斜率接近 0，说明变化正在停下来。这个“某一点处的斜率”的想法，会接到第10讲的梯度下降。
- 先读坐标轴的名称和单位
- 分别用文字说出y轴截距（起始值）和斜率（变化速度）的意思
- 如果有斜率改变的地方，找出是什么发生了变化
- 不要随意把直线延长到图像范围之外——没有人能保证关系一直是直线
📌 要点总结
- 函数是一个输入唯一确定一个输出的关系
- 一次函数 y = ax + b 中，a 是斜率（每 1 的变化量），b 是y轴截距（起始值）
- 斜率 = y 的变化量 ÷ x 的变化量，单位是“纵轴单位/横轴单位”
- 已知两点，先求斜率，再代入一点求出 b
- 两条直线的交点是两种选择的值相等的地方
🔁 无限练习
题目会源源不断地生成。写下答案点“检查”立即判分，点“看解析”会按正文同样的顺序展开分步解法。可以选择难度，还会统计连续答对的次数。
- 经过两点的直线的斜率和y轴截距
- x轴截距（使 y = 0 的 x）
- 中等以上：两条直线的交点
- 较难：斜率为分数的直线
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答案
答案可写整数、小数或分数（例如：12、0.75、3/4、−2/3、1 3/4）。分数答案写成小数时精确到小数点后三位也算正确。先看解法或答错，连续答对次数会清零；只有最高纪录保存在此浏览器中。
🤖 可以这样问 AI
复制后把 [ ] 部分换成你的情况。不要直接相信回答，请与正文对照核实。
比较两种选择哪个更划算时
套餐 A 是 [条件]，套餐 B 是 [条件]。请把它们分别列成 y = ax + b 形式的解析式，并给出两式相等之处的计算过程。再在这个点的前后各取一个值代入，做一张表来确认哪个更便宜。
练习用文字解释图像时
请用虚构的数据设计 3 个随时间变化的一次函数情境。每个情境只给我看表格，我会求出斜率和y轴截距并用文字解释它们的意思，请你给我打分。
- 初中数学教材的一般内容（函数、一次函数及其图像）
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