指数与对数——靠乘法变大的世界

1.乘方与指数法则

把同一个数连乘若干次叫作乘方，相乘的次数叫作指数。2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32，其中 2 是底数，5 是指数。把 2 连乘 10 次得 1,024，是最初的 500 多倍。和 2 连加 10 次得 20 相比，就能看出反复相乘增长得有多快。

指数法则直接来自“数一数乘了几次”这个想法。2³ × 2⁴ 是把 2 乘 3 次的结果和乘 4 次的结果再相乘，相当于把 2 乘了 7 次，也就是 2⁷。除法就把次数相减，乘方的乘方就把次数相乘。

2.复利——利息还会生利息

单利只对最初的本金计息；复利则是把利息加进本金，再对这个总和计息。按年利率 r 的复利存 n 年，相当于把本金乘以 n 次 (1 + r)，所以复利是个指数问题。

最初几年，单利和复利的差距看起来不大，但期限越长，差距拉开得越快。在贷款中，同样的原理朝反方向起作用：没还的利息再生利息，债务也会呈指数式膨胀。

3.翻倍所需的时间与72法则

按复利增长的量翻一倍所需的时间，可以用“72 ÷ 利率(%)”来估算，这叫作72法则。年利率 6% 时，72 ÷ 6 = 12，约 12 年；年利率 8% 时约 9 年。

这终究只是估算。按年利率 6% 复利计算 12 年，1.06¹² ≈ 2.012，几乎完全准确；但利率很高或很低时，误差会变大。准确的期限要用下一节的对数来求。年利率 6% 时的准确值约为 11.9 年。

这个法则不只适用于钱。每年按固定比例增长的用户数、物价、数据量等都可以套用。如果物价每年上涨 3%，大约 72 ÷ 3 = 24 年后物价会翻一倍，同样的钱能买到的东西就只剩一半。

4.对数——乘了几次

2 乘几次等于 8？3 次。表示这个“几次”的就是对数。写作 log₂ 8 = 3，读作“以 2 为底 8 的对数等于 3”。它是把指数式 2³ = 8 反过来问。log₁₀ 1000 = 3、log₂ 1024 = 10 也是同样的意思。

对数最重要的性质是把乘法变成加法，因为相乘的次数是可以相加的：log(a × b) = log a + log b。所以每乘一次 10，以 10 为底的对数就增加 1。

对数还能回答“要对半减少多少次”。在排好序的 1,000,000 个数据中查找某个值时，如果用“看中间、扔掉一半”的方法，由于 log₂ 1,000,000 ≈ 19.9，最多大约 20 次就能找到。因为 2²⁰ = 1,048,576 比 1,000,000 大。这是计算机能快速查找大量数据的原理之一。

5.读懂对数刻度图

普通刻度每一格加上相同的量（0、10、20、30 …）。对数刻度每一格乘以相同的倍数（1、10、100、1000 …）。所以把指数式增长的量画在对数刻度上，会变成一条笔直的直线。每年翻一倍的量，在普通刻度上是一条突然飙升的曲线，在对数刻度上却是一条斜率不变的直线。

看对数刻度图时要记住：相同的高度差代表相同的“倍数”。从 10 到 100 的距离，和从 100 到 1000 的距离一样长。如果像普通刻度那样去读，就会把后面巨大的增长看小。声音强度（分贝）和地震震级也是使用对数的标度，数字只差 1 或 10，实际强度就差好多倍。

反过来，想看增长是否在放缓时，对数刻度很有用。对数图的斜率变小，说明增长率在下降。

• 坐标轴上的刻度按 1、10、100、1000 这样的倍数排列，就是对数刻度
• 对数刻度上的直线 = 按固定比例增长（指数式增长）
• 相同的高度差 = 相同的倍数，而不是相同的量