概率——把不确定性变成数字

1.概率的含义

当所有情况发生的可能性都相同时，某个事件的概率等于“该事件发生的情况数 ÷ 所有可能的情况数”。掷一枚骰子，出现偶数的概率是：偶数（2、4、6）共 3 种，除以全部 6 种，得 3/6 = 1/2。

概率总在 0 和 1 之间。0 表示绝不会发生，1 表示一定发生。概率 1/2 并不是“做两次必出现一次”的保证，而是说重复非常多次后，出现的比例会接近 1/2。抛 10 次硬币出现 7 次正面并不稀奇，但抛 10,000 次，正面的比例通常会集中在 0.5 附近。

2.情况数——乘法原理和加法原理

用 3 件衬衫和 4 条裤子搭配，有多少种穿法？每件衬衫都可以配 4 种裤子，所以是 3 × 4 = 12 种。像这样用“并且”连接的选择，情况数相乘（乘法原理）。4 位数字密码每一位都有 10 种，所以共有 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000 种。

反过来，用“或者”连接、且两个事件不能同时发生时，情况数相加（加法原理）。掷骰子“2 以下或 5 以上”是 2 种 + 2 种 = 4 种。但如果两个事件可能重叠，就要把重叠的部分减去一次。“偶数或 3 的倍数”是偶数 3 种 + 3 的倍数 2 种，再减去两者都是的 6，共 4 种（2、3、4、6）。

还要看顺序是否重要。从 5 个人中选出会长和副会长，有 5 × 4 = 20 种方法；但不分顺序选出 2 名代表时，（甲，乙）和（乙，甲）要看作同一种，所以是 20 ÷ 2 = 10 种。

3.对立事件——“至少一次”要倒过来数

要直接数出“至少发生一次的概率”，就得把发生一次、两次、三次……的情况都考虑一遍，非常麻烦。这时只要求出相反的情况，即“一次也不发生的概率”，再用 1 去减，就简单了。某事件不发生这一事件，叫作它的对立事件。

4.独立事件——概率相乘

一个事件的结果不影响另一个事件的概率时，称这两个事件相互独立。抛硬币和掷骰子互不影响，所以硬币正面朝上且骰子掷出 6 点的概率是 1/2 × 1/6 = 1/12。

不独立时，相乘之前条件就变了。袋子里有 3 个红球、2 个蓝球，取出后不放回。如果第一个是红球，第二个是红球的概率就不是 3/5，而是 2/4。所以两个都是红球的概率是 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10。现实中的事件即使看起来独立，实际上也常常相互关联，比如同一天同一地区的天气。

5.赌徒谬误

抛硬币连续出现了 5 次正面。下一次该轮到反面了吗？不是。硬币没有记忆。如果是公平的硬币，第六次出现正面的概率仍然是 1/2。相信“现在该轮到另一面了”，就叫赌徒谬误。

之所以容易混淆，是因为把两个问题搞混了。“抛之前，连续 6 次正面的概率”是 (1/2)⁶ = 1/64，很小。但“已经出现 5 次正面后，下一次是正面的概率”是 1/2。已经发生的事，不再是概率要讨论的对象。

彩票号码、乐透中“该出了的号码”、连输之后觉得“这次该赢了”，都是同样的谬误。反过来，如果结果之间相互影响（像上面那个取球不放回的袋子），之前的结果就会改变下一次的概率。关键是先判断是否独立。