几何基础——面积与勾股定理

1.面积公式都来自长方形

面积就是数一数能放进多少个边长为 1 的正方形。长 6 m、宽 5 m 的房间能铺 30 块 1 m × 1 m 的瓷砖，所以面积是 30 m²。长方形的面积 = 长 × 宽，是所有面积公式的出发点。

平行四边形把一端的三角形剪下来拼到另一边，就成了长方形，所以面积是 底 × 高。三角形用两个完全相同的拼在一起就成了平行四边形，所以面积是它的一半：底 × 高 ÷ 2。梯形也是把两个相同的倒过来拼在一起，得到底为（上底 + 下底）的平行四边形，再取一半。这里一定要记住：高不是斜边的长度，而是与底边垂直的距离。

2.圆——周长与面积

用圆的周长除以直径，不管圆有多大，结果总是同一个值。这个值就是圆周率 π，约等于 3.14。π 是一个数字排列不循环、无限延续的小数，所以计算时取近似值 3.14，或者让答案保留 π。

圆的面积为什么是 π × r²？把圆像披萨一样切成许多细块，交错拼起来就明白了。切得越多，拼出的图形越接近一个宽为半径 r、长为周长一半 πr 的长方形，所以面积是 πr × r = πr²。

面积与长度的平方成正比。半径变成 2 倍，面积变成 4 倍；变成 3 倍，面积变成 9 倍。比较披萨、花盆、屏幕大小时，这种感觉非常有用。

3.相似与比例尺——长度、面积、体积的放大比例

形状相同、只有大小不同的两个图形叫作相似图形。在相似图形中，长度变成 k 倍，面积就变成 k² 倍，体积变成 k³ 倍。因为面积是两个长度相乘的量，体积是三个长度相乘的量。把棱长 1 cm 的正方体棱长增加到 2 cm，表面积变成 4 倍，体积从 1 cm³ 变成 8 cm³，是 8 倍。

地图的比例尺也是同样的道理。比例尺 1 : 50,000 表示地图上 1 cm 相当于实际 50,000 cm，也就是 500 m。长度乘以 50,000 就行，但求面积时要乘的不是 50,000，而是 50,000²。忘了这一点、只乘长度比例，是最常见的错误。拿不准时，不要直接换算面积，先把各边换算成实际长度，再计算面积，这样最稳妥。

4.勾股定理

在直角三角形中，设夹着直角的两条边为 a、b，与直角相对的最长边（斜边）为 c，则 a² + b² = c² 成立。也就是说，只要知道两条边的长度，就能求出第三条边。

3、4、5 是满足这一关系的最有名的一组整数：9 + 16 = 25。按这个比例放大的 6、8、10，以及 5、12、13（25 + 144 = 169）也经常出现。反过来，如果三条边满足这个关系，那么这个三角形就是直角三角形。所以木工会量出 3 m 和 4 m，再看对角线是不是 5 m，以此检查墙角是不是直角。

5.坐标平面上两点之间的距离

坐标平面上两点之间的距离，也用勾股定理来求。以连接两点的线段为斜边，以横向差和纵向差为两条直角边，画一个直角三角形就行。

处理数据时也直接用到这种距离。如果用两个数字表示两个人的喜好，两点之间的距离越近，就可以认为喜好越相似。即使数字增加到三个、一百个，“把差平方后全部相加，再开平方根”的方法也不变。第10讲的向量与相似度会延续这个想法。