比与比率——正确读懂百分比

1.比与比率，以及按比例分配

比是把两个量并排放在一起进行比较的表达方式，比如米和水按 1 : 1.2 放，男女比例是 3 : 2。比率是把这个比用一个数来表示，即比较量除以基准量所得的值。3 : 2 的比率是 3/2 = 1.5，再乘以 100 就是百分数（150%）。

按比例分配就是把整体按给定的比分开。先把比的各项相加，求出整体共有几份，再求出一份的大小，乘上去就行了。

2.用比率来比较——单价与组合优惠

比率最有用的地方，是把大小不同的两个对象放到同一基准上比较。在超市想知道容量不同的两件商品哪个更便宜，只要用价格除以容量，换算成“每100 mL多少钱”或“每1 g多少钱”这样的单价就行。这时要先统一两件商品的单位。如果一个标的是 L，另一个标的是 mL，就先按 1 L = 1,000 mL 换算再除。

组合优惠换算成比率也能看得一清二楚。“买1送1”是用 1 件的钱买 2 件，每件价格减半，也就是打 50% 的折扣。而“买2送1”是用 2 件的钱买 3 件，每件价格是原来的 2/3，优惠率是 1 − 2/3 = 1/3，约 33%。只盯着白送的那 1 件，很容易觉得像是优惠了 50%，但要记住，基准量是拿到手的全部件数。

3.百分比计算的三种形式

百分比问题几乎都出自“基准量 × 比率 = 比较量”这一个式子。根据未知的是哪一项，分成三种形式：问 80,000元的 15% 是多少，求的是比较量；问 12,000元是 80,000元的百分之几，求的是比率；已知 15% 是 12,000元、问整体是多少，求的是基准量。

把百分数化成小数再相乘，可以减少出错。15% 是 0.15，8% 是 0.08，120% 是 1.2。

4.百分比与百分点

年利率从 2% 涨到 3%，算涨了多少？两个答案都对。看两个百分数之间的差，是上涨了 1 个百分点（1%p）；以原来的利率为基准，则是 (3 − 2) ÷ 2 = 0.5，即上涨了 50%。

百分点是两个百分数的简单差值，百分比则是相对原值的变化比例。新闻或报告里的“上涨50%”和“上涨1个百分点”，可能说的是同一件事。用哪一种说法，给人的印象会大不相同，所以谈到百分数的变化时，一定要确认说的是哪一种。

5.降价20%再涨价20%，会回到原价吗

10,000元的商品打八折（降价 20%）是 8,000元。再涨价 20%，看起来会回到 10,000元，实际却是 9,600元。因为降价时的基准是 10,000元，涨价时的基准是 8,000元，而 8,000元的 20% 是 1,600元。

这类问题，把百分比换成“乘数”就一目了然。降价 20% 是 × 0.8，涨价 20% 是 × 1.2。两步连起来是 × 0.8 × 1.2 = × 0.96，也就是比原来低 4%。换个顺序，先涨后降，同样是 0.96。

同样的道理，先打 30% 的折扣再额外打 30% 的折扣，并不是优惠 60%。0.7 × 0.7 = 0.49，即支付原价的 49%，也就是优惠 51%。

6.增长率与下降率

增长率是“变化量 ÷ 原来的值”。访客从 120 人增加到 150 人，(150 − 120) ÷ 120 = 0.25，即增长 25%。反过来从 150 人减少到 120 人，(120 − 150) ÷ 150 = −0.2，即下降 20%。同样相差 30 人，因为基准不同，结果分别是 25% 和 20%。

所以“比去年增加了25%”和“去年比今年少20%”是同一个事实。读增长率时，一定要同时看基准时间点是什么时候、基准值是多少。基准值很小时，很小的变化也会变成很大的百分比：2 件变成 4 件，就是增长 100%。这个陷阱会在第9讲再次讨论。