통계 — 평균·중앙값·분산

1.가운데를 나타내는 세 가지 값

평균은 모든 값을 더해 개수로 나눈 값입니다. 모든 값을 똑같이 나누어 가지면 각자 얼마씩인지를 뜻합니다. 중앙값은 값을 크기순으로 세웠을 때 한가운데 있는 값입니다. 개수가 짝수면 가운데 두 값의 평균을 씁니다. 최빈값은 가장 자주 나온 값입니다.

셋은 같은 자료에서도 다를 수 있고, 무엇을 알고 싶은지에 따라 골라 써야 합니다. 신발 가게에서 가장 많이 준비할 치수는 최빈값이 알려 주고, '보통 사람의 소득'은 중앙값이 더 잘 나타내며, 전체 총량을 나누는 계산(1인당 사용량 등)에는 평균이 맞습니다.

2.평균의 평균은 평균이 아니다 — 가중평균

두 모둠의 평균을 알고 전체 평균을 구할 때, 두 평균을 더해 2로 나누면 대개 틀립니다. 그 방법은 두 모둠의 인원이 같을 때만 맞습니다. 인원이 다르면 사람이 많은 모둠의 평균이 전체 평균에 더 큰 영향을 주어야 하기 때문입니다.

올바른 방법은 평균의 정의로 돌아가는 것입니다. 각 모둠의 '평균 × 인원'으로 합계를 되살려 모두 더한 뒤 전체 인원으로 나눕니다. 이렇게 각 값에 그 비중(인원, 무게, 시간 등)을 곱해 구한 평균을 가중평균이라고 합니다. 과목마다 학점이 다른 성적 평균, 구매 시점마다 수량이 다른 평균 구매 단가도 모두 가중평균입니다.

3.퍼짐 — 평균이 같아도 자료는 다르다

두 반의 시험 점수가 있습니다. A반 다섯 명은 70, 70, 70, 70, 70점이고 B반 다섯 명은 50, 60, 70, 80, 90점입니다. 두 반 모두 평균은 70점이지만 전혀 다른 반입니다. A반은 모두 비슷하고, B반은 실력 차가 큽니다. 이 차이를 숫자로 나타내는 것이 분산과 표준편차입니다.

방법은 이렇습니다. 각 값이 평균에서 얼마나 떨어져 있는지(편차)를 구합니다. 편차를 그냥 더하면 늘 0이 되므로 제곱해서 모두 양수로 만듭니다. 제곱한 편차의 평균이 분산입니다. 분산은 단위가 제곱(점²)이라 해석하기 어려우므로, 제곱근을 씌워 원래 단위로 돌린 것이 표준편차입니다.

이 강의에서는 가지고 있는 자료 전체를 하나의 모집단으로 보고 n으로 나누는 모분산을 씁니다. B반의 편차는 −20, −10, 0, 10, 20이고 제곱하면 400, 100, 0, 100, 400, 합 1,000입니다. 1,000 ÷ 5 = 200이 분산, √200 ≈ 14.1점이 표준편차입니다. A반은 편차가 모두 0이라 분산도 표준편차도 0입니다.

4.분산과 표준편차 손으로 계산하기

앞의 자료 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9로 처음부터 끝까지 계산해 보겠습니다. 표를 만들어 칸을 하나씩 채우면 실수가 크게 줄어듭니다.

• 모분산(n으로 나눔): 가진 자료가 관심 대상 전체일 때. 이 예에서는 4.
• 표본분산(n − 1로 나눔): 일부를 뽑은 표본으로 전체의 분산을 추정할 때. 이 예에서는 32 ÷ 7 ≈ 4.57, 표준편차 ≈ 2.14.
• 표본으로 계산하면 평균도 표본에서 구하므로 퍼짐이 실제보다 조금 작게 잡히는 경향이 있어, n − 1로 나누어 보정합니다.
• 엑셀·계산기·AI가 어느 쪽을 쓰는지 먼저 확인하세요. 같은 자료로도 값이 다르게 나옵니다.

5.이상값 — 평균을 흔드는 한 사람

다른 값들과 동떨어진 값을 이상값이라고 합니다. 평균은 모든 값을 더하기 때문에 이상값 하나에 크게 끌려가고, 중앙값은 순서만 보기 때문에 거의 흔들리지 않습니다. 그래서 소득이나 집값처럼 아주 큰 값이 일부 섞인 자료에서는 평균보다 중앙값이 '보통'을 더 잘 나타냅니다.

이상값을 무조건 지우는 것도 답이 아닙니다. 입력 실수라면 고쳐야 하지만, 실제로 일어난 값이라면 그 자체가 중요한 정보일 수 있습니다. 평균과 중앙값을 함께 보고, 둘의 차이가 크면 이상값이나 한쪽으로 치우친 분포가 있다는 신호로 받아들이세요.