1.거듭제곱과 지수법칙
같은 수를 여러 번 곱한 것을 거듭제곱이라고 하고, 곱한 횟수를 지수라고 합니다. 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32이고, 여기서 2는 밑, 5는 지수입니다. 2를 10번 곱하면 1,024로, 처음의 500배가 넘습니다. 2를 10번 더하면 20인 것과 비교하면 곱셈의 반복이 얼마나 빨리 커지는지 알 수 있습니다.
지수법칙은 '곱한 횟수를 센다'는 생각에서 바로 나옵니다. 2³ × 2⁴는 2를 3번 곱한 것과 4번 곱한 것을 다시 곱했으니 2를 7번 곱한 것, 즉 2⁷입니다. 나눗셈은 횟수를 빼고, 거듭제곱의 거듭제곱은 횟수를 곱합니다.
- 1단계 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128.
- 2단계 (10²)³ = 10²ˣ³ = 10⁶ = 1,000,000.
- 검산: 2³ = 8, 2⁴ = 16이고 8 × 16 = 128로 같습니다. 10² = 100이고 100 × 100 × 100 = 1,000,000으로 같습니다.
2.복리 — 이자에 이자가 붙는다
단리는 처음 원금에만 이자가 붙고, 복리는 이자가 원금에 더해진 뒤 그 합계에 다시 이자가 붙습니다. 연 r의 복리로 n년이 지나면 원금에 (1 + r)을 n번 곱하게 되므로, 복리는 지수의 문제입니다.
처음 몇 년은 단리와 복리의 차이가 작아 보이지만, 기간이 길어질수록 차이가 급격히 벌어집니다. 대출에서는 같은 원리가 반대 방향으로 작용합니다. 갚지 않은 이자에 이자가 붙으면 빚도 지수적으로 불어납니다.
- 1단계 1년 뒤: 1,000,000 × 1.05 = 1,050,000원.
- 2단계 2년 뒤: 1,050,000 × 1.05 = 1,102,500원.
- 3단계 3년 뒤: 1,102,500 × 1.05 = 1,157,625원.
- 4단계 단리라면 매년 50,000원씩이므로 1,000,000 + 50,000 × 3 = 1,150,000원.
- 검산: 1.05³ = 1.157625이므로 1,000,000 × 1.157625 = 1,157,625원으로 같습니다. 복리가 단리보다 7,625원 많습니다.
3.두 배가 되는 시간과 72의 법칙
복리로 불어나는 양이 두 배가 되는 데 걸리는 기간은 '72 ÷ 이율(%)'로 어림할 수 있습니다. 이것을 72의 법칙이라고 합니다. 연 6%면 72 ÷ 6 = 12로 약 12년, 연 8%면 약 9년입니다.
어디까지나 어림셈입니다. 연 6%로 12년 복리를 계산하면 1.06¹² ≈ 2.012로 거의 정확하지만, 이율이 아주 높거나 낮으면 오차가 커집니다. 정확한 기간은 다음 절의 로그로 구합니다. 연 6%의 정확한 값은 약 11.9년입니다.
이 법칙은 돈 말고도 쓸 수 있습니다. 매년 일정한 비율로 늘어나는 사용자 수, 물가, 데이터 양 등에 모두 적용됩니다. 물가가 해마다 3%씩 오르면 약 72 ÷ 3 = 24년 뒤에 물가가 두 배가 되고, 같은 돈으로 살 수 있는 양은 절반으로 줄어듭니다.
- 1단계 어림: 72 ÷ 10 = 7.2년.
- 2단계 실제 확인: 1.1⁷ ≈ 1.949로 아직 두 배가 안 되고, 1.1⁸ ≈ 2.144로 두 배를 넘습니다.
- 3단계 따라서 7년과 8년 사이에 두 배가 됩니다. 로그로 정확히 구하면 약 7.27년입니다.
- 검산: 1.1⁷ = 1.1 × 1.1 × … 을 차례로 곱하면 1.21, 1.331, 1.4641, 1.61051, 1.771561, 1.9487171로 2에 조금 못 미칩니다.
4.로그 — 몇 번 곱했나
2를 몇 번 곱하면 8이 될까요? 3번입니다. 이 '몇 번'을 나타내는 말이 로그입니다. log₂ 8 = 3이라고 쓰고 '밑이 2인 로그 8은 3'이라고 읽습니다. 지수 2³ = 8을 거꾸로 물은 것입니다. log₁₀ 1000 = 3, log₂ 1024 = 10도 같은 뜻입니다.
로그의 가장 중요한 성질은 곱셈을 덧셈으로 바꾼다는 것입니다. 곱한 횟수끼리는 더해지기 때문입니다. log(a × b) = log a + log b. 그래서 10을 곱할 때마다 밑이 10인 로그는 1씩 늘어납니다.
로그는 '반으로 줄이기를 몇 번 해야 하는가'에도 답합니다. 정렬된 1,000,000개의 자료에서 원하는 값을 찾을 때, 가운데를 보고 절반씩 버리는 방법을 쓰면 log₂ 1,000,000 ≈ 19.9이므로 많아야 약 20번이면 찾습니다. 2²⁰ = 1,048,576이 1,000,000보다 크기 때문입니다. 컴퓨터가 큰 자료를 빠르게 찾는 원리 중 하나입니다.
5.로그 눈금 그래프 읽기
보통의 눈금은 한 칸마다 같은 양을 더합니다(0, 10, 20, 30 …). 로그 눈금은 한 칸마다 같은 배수를 곱합니다(1, 10, 100, 1000 …). 그래서 지수적으로 늘어나는 양을 로그 눈금에 그리면 곧은 직선이 됩니다. 매년 두 배가 되는 양은 보통 눈금에서는 갑자기 치솟는 곡선이지만, 로그 눈금에서는 일정한 기울기의 직선입니다.
로그 눈금 그래프를 볼 때는 같은 높이 차이가 같은 '배수'라는 점을 기억해야 합니다. 10에서 100으로 가는 거리와 100에서 1000으로 가는 거리가 같습니다. 보통 눈금처럼 읽으면 뒤쪽의 엄청난 증가를 작게 느끼게 됩니다. 소리의 세기(데시벨)와 지진의 규모도 로그를 쓰는 척도라, 숫자가 1이나 10 차이 나도 실제 세기는 여러 배 차이가 납니다.
반대로, 증가 속도가 느려지고 있는지 보고 싶을 때 로그 눈금이 유용합니다. 로그 그래프의 기울기가 줄어들면 증가율이 줄고 있다는 뜻입니다.
- 축에 1, 10, 100, 1000처럼 배수로 눈금이 있으면 로그 눈금이다
- 로그 눈금에서 직선 = 일정한 비율로 증가(지수적 증가)
- 같은 높이 차이 = 같은 배수, 같은 양이 아니다
📌 핵심 정리
- 지수는 곱한 횟수다 — 곱셈의 반복은 덧셈의 반복보다 훨씬 빨리 커진다
- 같은 밑의 곱셈은 지수를 더하고, 나눗셈은 빼고, 거듭제곱은 곱한다
- 복리는 원금 × (1 + r)ⁿ — 기간이 길수록 단리와의 차이가 커진다
- 72 ÷ 이율(%)은 두 배가 되는 기간의 어림값이다
- 로그는 '몇 번 곱했나'이고, 곱셈을 덧셈으로 바꾼다
- 로그 눈금에서는 같은 간격이 같은 배수이며, 지수적 증가가 직선으로 보인다
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- 지수법칙(곱셈·나눗셈·거듭제곱의 거듭제곱)
- 로그 값 구하기
- 보통부터: 0제곱·음수 지수, 로그의 덧셈 성질, 72의 법칙
- 어려움: 복리 원리합계
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답
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복사해서 [ ] 부분을 내 상황으로 바꿔 쓰세요. 답을 그대로 믿지 말고 본문과 비교해 확인하세요.
복리 계산을 확인하고 싶을 때
원금 [금액], 연 [이율]% 복리, [기간]년일 때 해마다 원리합계를 표로 보여 줘. 같은 조건의 단리 결과도 옆 열에 넣어 줘. 마지막 줄에는 원금 × (1 + r)ⁿ 식으로 한 번에 계산한 값도 적어서 표의 마지막 값과 같은지 보여 줘. 세금과 수수료는 빼고 계산해 줘.
로그가 아직 감이 오지 않을 때
로그를 '몇 번 곱했나'라는 관점으로, 계산기 없이 확인할 수 있는 예시 5개로 설명해 줘. 그다음 내가 풀 문제 5개를 내 주고 답은 내가 말한 뒤에 알려 줘.
- 중·고등학교 수학 교과서의 일반적 내용(지수, 로그, 등비수열)
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