방정식 — 모르는 수를 찾는 저울

1.등식은 저울이다

방정식은 모르는 수(미지수)가 들어 있는 등식입니다. 2x + 3 = 11은 '어떤 수의 2배에 3을 더하면 11'이라는 뜻이고, 이 식을 참으로 만드는 x를 찾는 것이 방정식을 푸는 일입니다.

등식은 양쪽 접시의 무게가 같은 저울로 생각하면 됩니다. 양쪽에 같은 수를 더하거나 빼도, 같은 수를 곱하거나 0이 아닌 같은 수로 나누어도 저울은 기울지 않습니다. 이것이 등식의 성질이고, 방정식 풀이는 이 성질을 써서 x만 한쪽에 남기는 과정입니다.

2.이항 — 부호가 바뀌는 이유

위 풀이에서 양변에서 3을 빼는 대신, '+3을 오른쪽으로 옮기면서 −3으로 바꾼다'고 줄여 말할 수 있습니다. 이것을 이항이라고 합니다. 부호가 바뀌는 것은 규칙을 외워서가 아니라 양변에서 같은 수를 뺀 결과이기 때문입니다.

일차방정식은 보통 이 순서로 풉니다. 괄호를 풀고, 분수나 소수가 있으면 양변에 같은 수를 곱해 정수로 만들고, x가 있는 항은 왼쪽으로 상수항은 오른쪽으로 이항하고, 정리한 뒤 x의 계수로 양변을 나눕니다. 마지막으로 답을 원래 식에 넣어 검산합니다.

• 흔한 실수 1: 이항하면서 부호를 바꾸지 않는다.
• 흔한 실수 2: 분수를 없앨 때 한쪽 변의 일부 항에만 곱한다. 6을 곱하면 오른쪽 10도 60이 되어야 합니다.
• 흔한 실수 3: 괄호 앞의 음수를 뒤 항에 곱하지 않는다. −(x − 3) = −x + 3입니다.

3.검산은 선택이 아니다

방정식의 큰 장점은 답이 맞는지 스스로 확인할 수 있다는 것입니다. 구한 값을 원래 식(풀이 중간의 식이 아니라 처음 식)에 넣어 양변이 같아지는지 보면 됩니다. 중간 식에 넣으면 그 전 단계의 실수를 잡지 못합니다.

AI가 방정식을 풀어 줄 때도 마찬가지입니다. 풀이가 아무리 그럴듯해도 답을 원래 식에 넣어 보는 데는 1분도 걸리지 않습니다. 검산은 AI의 답을 믿을지 말지 결정하는 가장 확실한 방법입니다.

4.공식을 원하는 문자에 대해 풀기

등식의 성질은 숫자만 있는 방정식뿐 아니라 공식에도 그대로 쓰입니다. 공식은 여러 문자 사이의 관계를 나타낸 등식이므로, 알고 싶은 문자 하나만 한쪽에 남도록 양변에 같은 계산을 하면 됩니다. 이것을 등식의 변형이라고 합니다.

예를 들어 섭씨온도 C를 화씨온도 F로 바꾸는 공식은 F = 1.8C + 32입니다. 화씨온도를 알고 섭씨온도를 구하고 싶다면 C에 대해 풀면 됩니다. 양변에서 32를 빼면 F − 32 = 1.8C이고, 양변을 1.8로 나누면 C = (F − 32) ÷ 1.8입니다. 순서는 일차방정식과 같습니다. 더해진 수를 먼저 옮기고, 곱해진 수로 나중에 나눕니다. 순서를 거꾸로 하여 F를 먼저 1.8로 나누고 32를 빼면 32까지 1.8로 나누어지지 않아 틀린 식이 됩니다.

5.연립방정식 — 미지수가 둘일 때

미지수가 두 개면 식도 두 개가 필요합니다. 두 식을 동시에 만족하는 x와 y를 찾는 것이 연립방정식입니다. 기본 전략은 한 미지수를 없애 일차방정식 하나로 만드는 것입니다.

가감법은 두 식을 더하거나 빼서 한 미지수를 없애는 방법이고, 대입법은 한 식을 x = … 또는 y = … 꼴로 바꾸어 다른 식에 넣는 방법입니다. 어느 쪽으로 풀어도 답은 같습니다.

6.문장제 — 말을 식으로 옮기기

문장제가 어려운 이유는 계산이 아니라 번역 때문입니다. 순서를 정해 두면 훨씬 쉬워집니다. 첫째, 구하려는 것을 미지수로 정하고 단위까지 적습니다. 둘째, 문장 속 '같다'에 해당하는 관계를 찾아 식을 세웁니다. 셋째, 풉니다. 넷째, 답을 원래 문장에 넣어 말이 되는지 확인합니다. 개수가 음수나 분수로 나오면 식을 잘못 세웠을 가능성이 큽니다.