기하 기초 — 넓이와 피타고라스

1.넓이 공식은 모두 직사각형에서 나온다

넓이는 한 변이 1인 정사각형이 몇 개 들어가는지를 센 것입니다. 가로 6 m, 세로 5 m인 방에는 1 m × 1 m 타일이 30장 들어가므로 넓이는 30 m²입니다. 직사각형의 넓이 = 가로 × 세로가 모든 넓이 공식의 출발점입니다.

평행사변형은 한쪽 끝의 삼각형을 잘라 반대편에 붙이면 직사각형이 되므로 밑변 × 높이입니다. 삼각형은 똑같은 삼각형 두 개를 붙이면 평행사변형이 되므로 그 절반, 밑변 × 높이 ÷ 2입니다. 사다리꼴도 똑같은 것을 거꾸로 붙이면 밑변이 (윗변 + 아랫변)인 평행사변형이 되므로 그 절반입니다. 여기서 높이는 비스듬한 변의 길이가 아니라 밑변에 수직인 거리라는 점을 꼭 기억하세요.

2.원 — 둘레와 넓이

원의 둘레를 지름으로 나누면 원의 크기와 상관없이 늘 같은 값이 나옵니다. 이 값이 원주율 π로, 약 3.14입니다. π는 같은 숫자 배열이 되풀이되지 않고 끝없이 이어지는 소수라 계산에서는 3.14로 어림하거나 답을 π가 들어간 채로 둡니다.

원의 넓이가 π × r²인 이유는 원을 피자처럼 잘게 잘라 엇갈려 붙여 보면 알 수 있습니다. 조각이 많아질수록 세로가 반지름 r, 가로가 둘레의 절반 πr인 직사각형에 가까워지므로 넓이는 πr × r = πr²입니다.

넓이는 길이의 제곱에 비례합니다. 반지름이 2배가 되면 넓이는 4배, 3배가 되면 9배가 됩니다. 이 감각은 피자, 화분, 화면 크기를 비교할 때 아주 유용합니다.

3.닮음과 축척 — 길이, 넓이, 부피가 늘어나는 비율

모양은 같고 크기만 다른 두 도형을 닮은 도형이라고 합니다. 닮은 도형에서 길이가 k배가 되면 넓이는 k²배, 부피는 k³배가 됩니다. 넓이는 길이 두 개를 곱한 양이고 부피는 길이 세 개를 곱한 양이기 때문입니다. 한 변이 1 cm인 정육면체의 변을 2 cm로 늘리면 겉넓이는 4배, 부피는 1 cm³에서 8 cm³로 8배가 됩니다.

지도의 축척도 같은 원리입니다. 축척 1 : 50,000은 지도 위 1 cm가 실제 50,000 cm, 즉 500 m라는 뜻입니다. 길이는 50,000을 곱하면 되지만, 넓이를 구할 때는 50,000이 아니라 50,000²을 곱해야 합니다. 이것을 잊고 길이 비율만 곱하는 것이 가장 흔한 실수입니다. 헷갈리면 넓이를 바로 바꾸지 말고, 각 변의 길이를 먼저 실제 길이로 바꾼 뒤 넓이를 계산하면 안전합니다.

4.피타고라스 정리

직각삼각형에서 직각을 끼고 있는 두 변을 a, b, 직각과 마주 보는 가장 긴 변(빗변)을 c라고 하면 a² + b² = c²이 성립합니다. 두 변의 길이만 알면 나머지 한 변을 구할 수 있다는 뜻입니다.

3, 4, 5는 이 관계를 만족하는 가장 유명한 정수 세 쌍입니다. 9 + 16 = 25입니다. 이 비를 그대로 늘린 6, 8, 10이나 5, 12, 13(25 + 144 = 169)도 자주 나옵니다. 거꾸로, 세 변이 이 관계를 만족하면 그 삼각형은 직각삼각형입니다. 그래서 목수들은 3 m, 4 m를 재고 대각선이 5 m인지 확인해 모서리가 직각인지 검사합니다.

5.좌표 위 두 점 사이의 거리

좌표평면 위의 두 점 사이의 거리도 피타고라스 정리로 구합니다. 두 점을 잇는 선분을 빗변으로 하고, 가로 차이와 세로 차이를 두 변으로 하는 직각삼각형을 그리면 됩니다.

이 거리는 데이터를 다룰 때도 그대로 쓰입니다. 두 사람의 취향을 숫자 두 개로 나타내면, 두 점 사이의 거리가 가까울수록 취향이 비슷하다고 볼 수 있습니다. 숫자가 세 개, 백 개로 늘어나도 '차이를 제곱해 모두 더하고 제곱근'이라는 방법은 같습니다. 10강의 벡터와 유사도가 이 생각을 이어 갑니다.