확률 — 불확실함을 숫자로

1.확률의 뜻

모든 경우가 똑같이 일어날 법할 때, 어떤 사건의 확률은 '그 사건이 일어나는 경우의 수 ÷ 일어날 수 있는 모든 경우의 수'입니다. 주사위 하나를 던져 짝수가 나올 확률은 짝수(2, 4, 6) 3가지를 전체 6가지로 나눈 3/6 = 1/2입니다.

확률은 늘 0과 1 사이에 있습니다. 0은 절대 일어나지 않음, 1은 반드시 일어남입니다. 확률 1/2은 '두 번 하면 한 번 나온다'는 약속이 아니라, 아주 여러 번 반복하면 나오는 비율이 1/2에 가까워진다는 뜻입니다. 동전을 10번 던져 앞면이 7번 나오는 일은 드물지 않지만, 10,000번 던지면 앞면의 비율은 대개 0.5 근처에 모입니다.

2.경우의 수 — 곱셈 법칙과 덧셈 법칙

셔츠 3벌과 바지 4벌로 옷을 맞춰 입는 방법은 몇 가지일까요? 셔츠마다 바지를 4가지씩 고를 수 있으므로 3 × 4 = 12가지입니다. 이처럼 '그리고'로 이어지는 선택은 경우의 수를 곱합니다(곱셈 법칙). 숫자 4자리 비밀번호는 자리마다 10가지이므로 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000가지입니다.

반대로 '또는'으로 이어지고 두 사건이 동시에 일어날 수 없으면 경우의 수를 더합니다(덧셈 법칙). 주사위에서 '2 이하 또는 5 이상'은 2가지 + 2가지 = 4가지입니다. 단, 두 사건이 겹칠 수 있으면 겹친 부분을 한 번 빼야 합니다. '짝수 또는 3의 배수'는 짝수 3가지 + 3의 배수 2가지에서 둘 다인 6을 한 번 빼서 4가지(2, 3, 4, 6)입니다.

순서가 중요한지도 따져야 합니다. 5명 중 회장과 부회장을 뽑는 방법은 5 × 4 = 20가지이지만, 순서 없이 대표 2명을 뽑는 방법은 (가, 나)와 (나, 가)를 같은 것으로 보아야 하므로 20 ÷ 2 = 10가지입니다.

3.여사건 — '적어도 한 번'은 거꾸로 센다

'적어도 한 번 일어날 확률'을 직접 세려면 한 번, 두 번, 세 번 … 일어나는 경우를 모두 따져야 해서 복잡합니다. 이럴 때는 반대 상황, 즉 '한 번도 일어나지 않을 확률'을 구해 1에서 빼면 간단합니다. 어떤 사건이 일어나지 않는 사건을 여사건이라고 합니다.

4.독립 사건 — 확률을 곱한다

한 사건의 결과가 다른 사건의 확률에 영향을 주지 않을 때 두 사건은 독립이라고 합니다. 동전 던지기와 주사위 던지기는 서로 영향을 주지 않으므로, 동전 앞면이면서 주사위 6이 나올 확률은 1/2 × 1/6 = 1/12입니다.

독립이 아닌 경우는 곱하기 전에 조건이 바뀝니다. 빨간 공 3개, 파란 공 2개가 든 주머니에서 공을 꺼내고 다시 넣지 않는다면, 첫 공이 빨간색일 때 둘째 공이 빨간색일 확률은 3/5가 아니라 2/4입니다. 그래서 두 공 모두 빨간색일 확률은 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10입니다. 현실의 사건은 독립처럼 보여도 실제로는 서로 얽혀 있는 경우가 많습니다. 같은 날 같은 지역의 날씨처럼요.

5.도박사의 오류

동전을 던졌더니 앞면이 5번 연속 나왔습니다. 다음에는 뒷면이 나올 차례일까요? 아닙니다. 동전에는 기억이 없습니다. 공정한 동전이라면 여섯 번째 던지기에서 앞면이 나올 확률은 여전히 1/2입니다. '이제 반대쪽이 나올 때가 됐다'고 믿는 것을 도박사의 오류라고 합니다.

헷갈리는 이유는 두 질문을 섞기 때문입니다. '던지기 전에, 6번 연속 앞면이 나올 확률'은 (1/2)⁶ = 1/64로 작습니다. 하지만 '이미 5번 앞면이 나온 상태에서, 다음 한 번이 앞면일 확률'은 1/2입니다. 이미 일어난 일은 더 이상 확률의 대상이 아닙니다.

복권 번호, 로또의 '나올 때가 된 번호', 연속으로 진 뒤 '이번엔 이길 차례'라는 생각이 모두 같은 오류입니다. 반대로 결과가 서로 영향을 주는 경우(위의 주머니처럼 꺼낸 공을 다시 넣지 않는 경우)라면 이전 결과가 다음 확률을 바꿉니다. 먼저 독립인지부터 따지는 것이 핵심입니다.