함수와 그래프 — 변화를 읽는 눈

1.함수 — 입력 하나에 출력 하나

자판기의 1번 버튼을 누르면 늘 같은 음료가 나옵니다. 이처럼 입력 x를 하나 정하면 출력 y가 하나로 정해지는 관계를 함수라고 합니다. '택시를 탄 거리 → 요금', '공부한 시간 → 시험 점수의 예측값', '온도 → 아이스크림 판매량의 예측값'이 모두 함수로 표현할 수 있는 관계입니다.

반대로 하나의 입력에 출력이 여러 개라면 함수가 아닙니다. '나이가 30인 사람 → 그 사람의 키'는 30살인 사람이 여럿이고 키도 제각각이라 함수가 되지 않습니다. 함수인지 아닌지는 '같은 입력에 늘 같은 출력이 나오는가'로 판단합니다.

AI 모델도 넓게 보면 거대한 함수입니다. 문장이나 사진을 입력하면 답이나 분류 결과를 출력합니다. 10강에서 이 관점을 다시 봅니다.

2.일차함수 y = ax + b

가장 단순하면서도 가장 자주 쓰이는 함수가 일차함수입니다. y = ax + b 꼴이고, 그래프는 직선입니다. a를 기울기, b를 y절편이라고 부릅니다.

y절편 b는 x = 0일 때의 y 값, 즉 그래프가 y축과 만나는 높이입니다. 요금제라면 아무것도 쓰지 않아도 내는 기본료입니다. 기울기 a는 x가 1 늘어날 때 y가 얼마나 변하는지를 나타냅니다. 요금제라면 1GB당 추가 요금입니다. a가 양수면 오른쪽 위로 올라가는 직선, 음수면 오른쪽 아래로 내려가는 직선이고, 절댓값이 클수록 가파릅니다.

y = 2x + 1의 표를 만들어 보면 기울기의 뜻이 바로 보입니다. x가 1씩 늘 때마다 y는 늘 2씩 늘어납니다.

3.두 점으로 식 구하기

직선은 두 점만 알면 하나로 정해집니다. 먼저 두 점 사이의 기울기를 구하고, 그다음 한 점을 식에 넣어 b를 구합니다. 실제 데이터에서 '두 시점의 값으로 변화의 속도를 구한다'는 것이 바로 이 계산입니다.

4.기울기가 음수이거나 분수일 때

기울기가 정수가 아니어도 방법은 같습니다. 다만 부호와 분수 계산에서 실수가 잦으므로, 두 점에서 빼는 순서를 똑같이 맞추고 마지막에 반드시 다른 점으로 검산합니다.

기울기 −2/3은 'x가 3 늘 때 y가 2 줄어든다'는 뜻입니다. 분수 기울기는 이렇게 '가로로 몇 칸 갈 때 세로로 몇 칸 움직이는가'로 읽으면 그래프를 그리기 쉽습니다. 기울기 1/2이면 오른쪽으로 2칸 갈 때 위로 1칸, 기울기 −3이면 오른쪽으로 1칸 갈 때 아래로 3칸입니다.

5.교점 — 두 선택지가 같아지는 지점

두 직선이 만나는 점은 두 식의 값이 같아지는 지점입니다. 3강의 연립방정식을 그래프로 보면 바로 이 교점을 찾는 일입니다. 생활에서는 '어느 지점부터 다른 선택이 유리해지는가'를 알려 줍니다.

6.그래프 읽기 — 기울기는 속도다

그래프를 볼 때는 먼저 두 축이 무엇이고 단위가 무엇인지 확인합니다. 그다음 기울기를 읽습니다. 가로축이 시간이고 세로축이 거리라면 기울기는 속력입니다. 가로축이 사용량이고 세로축이 요금이라면 기울기는 단가입니다. 기울기의 단위는 '세로축 단위 ÷ 가로축 단위'로 붙습니다. km/시, 원/GB처럼요.

현실의 그래프는 대개 곧은 직선이 아닙니다. 그래도 짧은 구간을 잘라 보면 직선처럼 볼 수 있고, 그 구간의 기울기가 그때의 변화 속도입니다. 기울기가 점점 커지면 변화가 빨라지는 중이고, 기울기가 0에 가까워지면 변화가 멈추고 있다는 뜻입니다. 이 '한 점에서의 기울기'라는 생각은 10강의 경사 하강법으로 이어집니다.

• 축 이름과 단위를 먼저 읽는다
• y절편(시작값)과 기울기(변화 속도)를 각각 말로 풀어 본다
• 기울기가 바뀌는 지점이 있으면 무엇이 달라졌는지 찾는다
• 그래프 밖의 범위로 직선을 함부로 늘이지 않는다 — 관계가 계속 직선이라는 보장은 없다