货币的时间价值与复利——时间如何让钱变多

1.今天的100万元和一年后的100万元

如果有人让你选择现在拿100万元，还是一年后拿100万元，大多数人会选现在。现在拿到的钱可以存进银行拿利息，也可以应急；而且如果这一年里物价上涨，同样的100万元能买到的东西就会变少。像这样，同样的金额因为收到的时间不同而价值不同，就叫做货币的时间价值。

用数字处理时间价值的工具是利率。利率是借出钱的一方为等待和承担风险得到的回报，也是借钱的一方为了现在就用钱而付出的代价。在整个课程中，利率都是把存款、贷款、投资和物价串在一起的共同语言。这一讲先讲最基础的单利与复利，以及让时间倒流的现值。

2.单利与复利——利息会不会再生利息

单利是只对最初的本金计息的方式。100万元按年利率5%单利存放，每年都同样增加5万元。复利则是把到上一年为止产生的利息加进本金，再对这个合计计息。所以复利每年的增长不是“加法”而是“乘法”。年利率5%的复利，就是每年乘以1.05。

本讲的计算一律按每年计息一次的年复利进行，结果四舍五入到元。实际的金融产品会因计息周期和税收而略有不同，这里重点看原理。下表是假设把100万元按年利率5%存放的计算示例。头几年差距很小，期限越长差距越大。

3.72法则——估算翻倍需要多久

在复利下，本金翻倍所需的年数，大致等于72除以年利率（%）。年利率6%就是72 ÷ 6 = 12年，年利率3%就是24年。精确值要用数学第5讲学过的对数来求，但在脑子里快速比较时，这种估算很方便。

72法则终究只是近似。年利率大约在2%～10%之间时比较准，利率特别高或特别低时误差就会变大。反过来，听到“几年翻一倍”的说法时，用72除以那个年数，就能知道这句话假设的是年化百分之几。比如“3年翻一倍”意味着每年要增长约24%（用对数精确计算约为26%），听到这样的承诺，首先要问风险有多大（第9讲）。

4.现值——把未来的钱带回今天

把复利公式倒过来用，就能求出“未来的某笔钱在今天值多少”。这叫做现值，把未来金额除以 (1 + r)^n 的过程叫做折现。这里的 r 是“如果今天就拿着这笔钱，在这段时间里可以期待的收益率”，称为折现率。

现值用于把不同时间点的钱放在同一位置上比较。“现在的800万元”和“5年后的1,000万元”收到的时间不同，只看金额无法比较。把两者都换算成今天的价值，比较才公平。不过结果取决于折现率定为百分之几，所以要同时写明：折现率本身也是一个假设。

5.定投复利的感觉——投入的钱和增长的钱

不是一次性投入一大笔，而是每年投入固定金额，原理也一样。每年投入的钱各自按剩余的期限复利增长，把它们全部加起来就行。越早投入的钱，被乘的次数越多，增长得也越多。

定投时一定要区分“自己投入的钱”和“增长出来的钱”。举个例子，假设每年年末投入100万元、连续10年、年复利5%，投入的钱是1,000万元，本息和约为12,577,893元。差额约257万元才是增长出来的部分。有些广告只把结果金额放大展示，把这两者混在一起，要养成分开来看的习惯。

6.阅读复利计算时要注意的地方

复利公式本身是精确的，但代入公式的利率大多是假设。除了像存款这样事先定好利率的情况，“按年化○%算30年”的计算，都建立在这个利率30年间一直不变的假设上。实际收益每年有涨有跌，只要有亏损的年份，结果就会大不相同（第8讲）。

• 利率是假设：先确认它是确定的利率，还是预期或举例的利率
• 扣除税费：利息要交税，有些产品每年还要扣管理费——小比例也会像复利一样累积（第2讲、第7讲）
• 考虑物价：本息和增加了，物价涨得更多的话，购买力也可能下降（第2讲）
• 贷款也有复利：没还的利息计入本金，债务也会按乘法增长（第4讲）